授業紹介（２００４年度）


統計力学１（三回生前期）

統計力学は、自然界に見られる統計現象、特に、多数の基本要素から構成される集団が示す、 統計的な挙動を記述する理論である。ここでは、統計力学の建設期における論争を振り返るとともに、 統計力学の基礎から始まって、平衡統計力学の基本的な枠組みを解説する。

  1. -- 統計力学は何をする学問か -- 物理学から始まり、それを越えて、社会経済現象や生命現象にまで、その前線を拡大しつつある統計物理学 の全体像を概観する
  2. 　-- 統計力学の基礎 : 何故、決定論的な力学に対して、確率的な記述が可能なのか -- ミクロな力学の時間反転対称性とマクロな現象の非可逆性の対比、 確率的な記述の基礎としてのカオス現象の概説、エルゴード仮説
  3. 　-- 統計現象の記述 -- 大数の法則、確率現象の独立性、中心極限定理、ガウス分布、大偏差原理、安定分布
  4. -- 統計集団の導入 -- ミクロカノニカル分布、カノニカル分布、グランドカノニカル分布。
  5. -- 熱力学との整合性 -- エントロピー、温度の導入、負の温度、熱力学の関係式の導出。
  6. -- 平衡系の具体的な問題を考える-- 理想気体の状態方程式の導出、比熱の理論、プランクの熱輻射則、エネルギー等分配則とその破れ、常磁性スピン系。
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統計力学２（三回生後期）

平衡系の統計力学の内、電子気体、超流動など、量子性が本質的な役割を果たす現象を扱う。 また、化学平衡、固液相転移に関するファンデルワールス理論、強磁性の平均場近似とランダウ理論を解説する。 さらに、非平衡系の統計力学の初歩を説明する。

  1. マックスウェルボルツマン分布、ボーズアインシュタイン分布、フェルミディラック分布を、 グランドカノニカル分布と、ラグランジュの未定乗数法を用いた方法で導出する
  2. 化学平衡、相平衡、固液相転移とファンデルワールス理論
  3. -- ２次の相転移 -- 平均場近似、ランダウ理論、イジングモデル、自発的な対称性の破れ　
  4. -- ボーズアインシュタイン凝縮 -- 超流動、超伝導
  5. -- 固体電子論 -- 金属の自由電子モデル、電子比熱、帯磁率
  6. -- 非平衡系の現象論 -- ブラウン運動、気体分子運動論、ランジュバン方程式、揺動散逸定理、オンサガーの相反法則
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形態形成の幾何学（三回生後期）

自然界に見られる様々な形、それらの形が、どのような仕組みで作り出される のか、ここでは、定性的な見方、物理的直感的な見方に比重を置いて解説する。 キーワードとして、次元解析、対称性の破れ、分岐現象、線形不安定性、 リミットサイクル、フラクタル、など。 具体的に扱うのは、気象現象における大気循環のモデルであるベナール対流と、 生体系におけるリズム発生の原型であるベルーゾフ・ジャボチンスキー反応である。

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非線型動力学入門（四回生前期）

平衡から遠く離れた系に普遍的に見られる現象として、カオスがある。 カオスは、本来、統計力学の基礎付けを与えるものとして研究されてきたが、 現在ではその適応範囲は、統計力学を含んでより広く、化学反応や生命現象、社会経済現象とも接点を持っている。 ここでは、カオスの基礎的な概念から始まって、 統計力学の基礎付け、 ミクロやマクロのパターン形成に見られるカオスまで初等的に解説する。

  1. 歴史的経緯---統計力学の基礎付け、三体問題、トポロジー。
  2. ハミルトン系のカオス--- ホモクリニック交差、馬蹄形力学、記号力学、非線型共鳴。
  3. 散逸系のカオス---ローレンツ方程式の導出、アトラクター、カオスへ至る道。
  4. 化学反応におけるパターン形成---ＢＺ反応におけるカオスとパターン。
  5. フラクタル---ジュリア集合、複素力学系、量子カオスにおけるトンネル。

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統計力学基礎特論（大学院前期過程）

ミクロな運動方程式の可逆性とマクロな現象の非可逆性の関連は、統計力学の建設期 以来、議論され続けてきた問題である。ここでは、ハミルトン力学系におけるカオスの 研究を通じて、この問題を考察する。 また、カオスに対応する量子系の研究を概観する中から、 量子系に特有の問題も論じる。具体的には古典論では、エルゴード問題、ＫＡＭ理論、 メルニコフ積分、高次元カオス系におけるアーノルド拡散、 量子論では、半古典論、相空間表示、ランダム行列理論を講義する。 統計力学の基礎に関する研究が、応用面でも重要となる分野として、 化学反応の動力学、量子コンピューター、経済物理についても触れたい。

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